祖冲之算出更精确的圆周率领先西方国家一千多年时间

　　自从祖冲之认为刘徽的“割圆术”是非常好的求圆周率的方法后，他就决心按着刘徽开创的路子继续走下去。因为当时刘徽用“割圆术”求圆周率只算到96边，得出3.14后就没再继续算下去这还不能说是精确的圆周率。要想求出精确的圆周率，只有象刘微说的那样，“割而又割，以至于不可割”，一步一步地计算出192边形，384边形，768边形，1536边形……

　　这件事情说说是容易，可真正做起来就难了。因为当时还不会现在的笔算，更不用说用其它先进的算法，一切计算只能用“筹算”。筹算有点象珠算，用“算筹”作工具，摆成纵式和横式两种数字。

　　算筹从春秋战国时出现，到明代被珠算代替，在我国古代大约用了二千年，曾发挥了很大的作用。但用算筹计算相当麻烦，又很容易搞错。当时刘徽计算圆周率时，算到96边形，得出3.14就已经感到相当困难了，所以他没有继续计算下去。祖冲之决定按刘徽的办法继续计算。

　　祖冲之在作完《九章算术》的注释后，就开始了计算圆周率的工作。他先在房间的地板上画了个直径为一丈的大圆，然后按刘徽“割圆术”的方法在圆内作了个正六边形。他估计原来做算筹用的小竹棍可能不够，又亲自削了若干，以备后用。

　　计算圆周率确实是个艰巨的工作。祖冲之爷儿俩一齐动手， 废寝忘食地计算了十几天才算到96边，也就是当年刘徽算到的地方。说来也怪，他们父子俩算出的结果竞和刘徽的不一样。刘徽算出的96边式每边长是0.032719丈，他们的是0.032717丈，少了“两丝”。

　　祖暅说:“我们每一步都计算得非常仔细，保准没错，可能是刘徽错了。”

　　祖冲之听了祖暅的话，摇了摇头说:“刘微是位办事精细的数学家，我们虽然不能盲目地相信他，但要凭科学的态度，不能凭想象。”

　　“要重新检查一遍。”祖冲之说。

　　祖冲之和祖暅又重新计算了一遍，计算结果表明，刘微是对的。

　　祖冲之算出96边形的周长后，又继续向下计算。他为了避免上次的错误，每计算一步都至少重复两遍，直到几次的结果完全相同才罢休。

　　时间也不知过了多久，只知道杏花开了，桃花败了，红喷喷的果实挂满了枝头。祖冲之算到了12288边形，得出结果是3.14159251丈，祖冲之算到了24576边形，得出结果是3.14159261丈。这时，算筹已经从桌上摆到了地上，摆满了一屋。祖冲之还想向下计算，但已经实在无法计算了，只好就此停止。

　　祖冲之认为，24576 边形的边长比12288边形的边长只增加上“一忽”(即0.0000001丈)以后不管怎么计算下去也增加不了一忽以上，所以圆周率必然大于3.1415926而小于3. 1415927。于是他得出了二个结论:“以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二丝七忽，朒数数三丈一尺四对一分五厘九毫二丝六忽，正数在盈胸二限之间。”

　　这个结论，用现代数学符号表示就是:

　　3.1415926< π<3.1415927

　　祖冲之得出的这个结论，处于世界领先的地位，直到十五世纪，阿拉伯人阿尔.卡西才超过了祖冲之，把圆周率推算到17位有效数字。但这已经是祖冲之以后一千年了。同时，祖冲之还是我国数学史上第一个使用“上下二限”的数学家。所谓“上下二限”，就是把一个无理数的大小限制在一个范围内，如祖冲之就把圆周率.限制在3.1415926和3.1415927之间。

　　祖冲之计算出精确的圆周率，到底付出了多少辛勤的劳动？有人作了一个计算：从六边形出发算到24576边形，要求把同一运算程序反复进行12次，每一运算程序又包括加减乘除及开方等十一个步骤，这样，祖冲之想要求得自己的结果，就需要对9位数字的大数目，反复进行各种运算130次以上。就是在今天，假如我们用纸笔来进行这样的计算，也绝不是一件轻松的事，何况祖冲之是用罗列小竹棍来进行计算呢!祖冲之在计算出精确的圆周率后，并没有就此停止，他为了人们计算方便，还进一步找到了圆周率的“约率”和“密率”。

　　约率π等于七分之二十二        密率π等于一百一十三分之三百三十五

　　密率π这个数值，在世界上也一直遥遥领先，直到过了一千多年后，才由德国人奥托和荷兰人安托尼兹重新得到。奇怪的是，在西方数学史上经常称密率为“安托尼兹率”，以为密率是荷兰工程师安托尼兹的发明，这是非常可笑和不合理的。已故的日本数学家三上义夫曾建议将此率改称为“祖率”，以纪念祖冲之的伟大贡献。

　　祖冲之不但注重实践，算出了精确的圆周率，还著书立说，为后世着想。当时他把自己在计算圆周率中的算法、体会以及平时对数学的研究成果综合起来，编了一本书，叫作《缀术》。《缀术》的内容非常深奧，史书记载说，连后来隋朝掌管天文和数学的一般官员都看不懂。《缀术》这本书在我国数学史上占有重要的地位，是汉唐一千多年间十部数学名著之一。在唐朝时，不但中国人学习这本书，就连日本人和朝鲜人也苦心钻研，可见这本书之重要。但是，现在《缀术》这本书在中国、朝鲜和日本都已经失传了，真是可惜!

　　是于 直到今天，许多国内外学者对《缀术》内容的探讨仍抱着很大的兴趣！